En este episodio del siempre recomendable canal de divulgación Numberphile nuestra admirada matemática Holly Krieger de la Universidad de Cambridge explica de forma fácil y visual lo que es la conjetura de Mertens y de dónde sale uno de los números más grandes que se conocen en una demostración matemática.

Esta conjetura es interesante porque es de ese tipo de problemas con números naturales, fáciles de entender pero de consecuencias imprevisibles: aparecen unos patrones más o menos reconocibles y donde por lo que sucede al principio se podría intuir lo que sucede al final, y que la demostración será fácil… pero no. Esta conjetura se demostró falsa casi un siglo después de ser enunciada.

El problema tiene que ver con la forma en que aparecen los factores primos de los números naturales, lo cual se puede explicar con una función: si el número tiene un número par de divisores primos (por ej. 10 = 2 × 5, tiene dos) se dice que el resultado es +1, si es impar (ej. 30 = 2 × 3 × 5, tiene tres), -1 y si cualquier factor primo se repite (ej. 8 = 2 × 2 × 2, tiene tres, pero alguno repetido), simplemente se ignora.

La conjetura de Mertens oscilando en sus 10.000 primeros valores alrededor del 0.La conjetura dice que probablemente nunca se saldrá de la curva (raíz cuadrada de n) / (CC) Wikimedia

Sumando y restando todos esos resultados desde 1 hasta el número deseado se obtiene un valor, que …