La escalera infinita es una escalera que se construye comenzando por un cuadrado y añadiendo escalones cada vez más pequeños. Cuando el proceso se repite y se lleva al infinito produce una aparente paradoja: la diagonal del cuadrado parece tener dos valores distintos a la vez. Lo explica Henry Segerman para Numberphile como bonus con truqui para su explicación sobre las curvas que rellenan el plano y el espacio, con lo que está relacionado.

Si el cuadrado tiene lado 1 sabemos que su diagonal mide √2 (por el teorema de Pitágoras). En el primer paso de la construcción de los escalones se ajustan a la mitad de cada lado: los primeros tienen 1/2 de alto y 1/2 de fondo; como hay 4 segmentos su longitud son 2 unidades. En la siguiente división tienen 1/4 y 1/4, son 8 y también suman 2 unidades. Luego 1/8 y 1/8, sumando también 2, etcétera.

En este dibujo de Too Damn Logical puede verse bastante claro:

Negro - cuadrado original / Rojo - diagonalVerde - paso 1; Amarillo - paso 2; Azul - paso 3

El problema surge cuando se repite la operación hasta el infinito. El infinito hace cosas muy raras y es bastante peligroso de utilizar en demostraciones si no se tiene en cuenta cómo debe aplicarse exactamente. Aquí, por ejemplo, si se da por supuesto (como sería bastante obvio e intuitivo, por otro lado) que una escalera infinita de escalones infinitamente pequeños tendría el mismo aspecto y sería igual que …